tercer periodo

en este apartado veremos lo que son las derivadas y unas de sus reglas basicas para poder entenderlas y resolverlas

3.1 - Definición de la derivada:

En matemática, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

 

3.2 - Diferenciación de funciones por incrementos:

Diferenciación:
Incrementos y diferenciales.
Dada una función z = f(x, y), se llama incremento de la función, cuando x e y se incrementan ∆x e ∆y, a:
∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y)

y se llama diferencial total a:
dz =
∂z
∂x dx +
∂z
∂y dy = fx(x, y) dx + fy(x, y) dy

3.3 - La derivada como razón de cambio.

El concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual a cero.

 

3.4 - Diferenciabilidad y continuidad:

El proceso de calcular la derivada de una función se denomina 'diferenciación ; esto es, la diferenciación es la operación mediante la cual se obtiene la función f'  a partir de la función f

Si una función tiene una derivada en x1 , se dice que la función es diferenciable en x1 . Una función es diferenciable en un intervalo abierto si es diferenciable en cada número del intervalo. Si una función es diferenciable en cada número de su dominio, entonces se dice que es una función diferenciable

Se concluye, por la definición 2.1.1 (ii)  que x=0 es la recta tangente a la gráfica de f en el origen

La función definida  por (x) =  tiene las siguiente propiedades

1.     f Es continua en 0

2.     f No es diferenciable en 0

3.    La grafica de f tiene una recta tangente vertical en el punto donde x=0

3.5 - Reglas básicas de derivación: 

Regla 1: Para una constante "a"
Si f(x)= a, su derivada es f '(x)= 0
Ejemplo: Si f(x)= 15 , su derivada es f '(x)= 0


Regla 2: Para la función identidad f(x)= x
Si f(x)= x, su derivada es f ' (x)= 1
Ejemplo: f(x)= x , su derivada es f '(x)= 1


Regla 3: Para una constante "a" por una variable x
Si f (x)=ax , su derivada es f '(x)= a
Ejemplo: si f (x)= 12x, su derivada es f '(x)= 12

Regla 4: Para una variable "x" elevada a una potencia "n"

Si f(x)= x , su derivada es f´(x)=nx
3 2
Ejemplo: f(x)= x, su derivada es f´(x)= 3x

Regla 5: Para una constante "a" por una variable "x" elevada a una potencia "n"
n n-1
Si f(x)= ax , su derivada es f´(x)= anx
2
Ejemplo: f(x)= 4x, su derivada es f´(x)= 8x

Regla 6: Para una suma de funcionesSi f(x)= u(x) + v(x), su derivada es f´(x)= u´(x) + v´(x)2Ejemplo: f(x)= 3x + 4x, su derivada es f´(x)= 6x+4

Regla 7: Regla del producto
Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la multiplicación de polinomios,
3 4Ejemplo: f(x)= (2x+3)(3x-5)2 4 3 3f´(x)=(6x )(3x-5) + (2x+3)(12x )
 Regla 8: Regla del cocienteEsta regla es útil cuando se tiene una función formada de la división de polinomios, comoSi "u" y "v" son los polinomios 2La función f(x)= u/v, Se deriva u´v - uv ´/v3 4Ejemplo: f(x)= 2x+3 / 3x-52 4 3 3 4 2f´(x)= (6x )(3x-5) - (2x+3)(12x ) / (3x-5)

Regla 9: Regla de la cadena
Esta regla útil cuando se tiene una función formada por un polinomio elevado auna potenciaSi "u" es el polinomion n-1La función: f (x) = u, Su derivada f´(x)= n(u) (u´)3 5Ejemplo: f(x)= (2x+3)3 4 2f´(x)= 5(2x+3) (6x )2 3 4f´(x)= 30x (2x+3)

3.6 - La regla de la cadena y de la potencia:

La regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de la composición de dos o más funciones. Esto es, si f y g son dos funciones, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la función compuesta f ∘ g en términos de las derivadas de f y g. Por ejemplo , la regla de la cadena de f ∘ g (x) ≡ f [g (x)] es

o escrito en notación de Leibniz.